Bueno, se resolvio vía polymath, evidentemente Tao hizo gran parte pero fue todo un grupo de matemáticos los que trabajaron en ello juntos. Polymath es un proyecto muy chulo.
Veamos, este tipo de conjeturas (como la quizás más famosa conjetura de Collatz) tienen la gracia de ser muy fáciles de escribir y muy muy difíciles de demostrar. En este caso la conjetura dice que para cualquier f(n) con valores en {-1,1}, para cualquier C existen d, k tales que el sumatorio desde i = 1 hasta i = k de f(id) es, en valor absoluto, mayor que C.
Básicamente si la f toma los valores 1,1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,... es fácil de ver que para cualquier C si cojemos d mayor que 16 ya lo tenemos. La conjetura dice que eso pasa siempre. Al ser tan simple de formular las conexiones que tiene con otras teorías más avanzadas están muy escondidas.
El paper primero discute ejemplos de funciones "parecidas" pero que no llegan a ser iguales donde la conjetura sería falsa. Es importante, por ejemplo, para demostrar la conjetura, el hecho de que |f(n)| = 1 para TODO n.
El proceso parece el siguiente. Primero, se dan cuenta de que parte esencial de la demostración consiste en funciones completamente multiplicativas (f(jd) = f(j)f(d)). Después, "generalizan" y en lugar de mirar funciones que valgan 1 o -1, miran funciones aleatorias cuyos valores están en el círculo unidad de los complejos. Ven que la conjetura inicial es equivalente a decir que el supremo para todo n del valor promedio del sumatorio hasta n de g(j) al cuadrado es igual a infinito. Fijaos que aquí hay más libertad en la función, pero sigue habiendo simetría ya que puede ser g(1) = i, g(2) = 1, g(3) = -1 y así.
Para demostrar esto usan un teorema bastante técnico que no creo que merezca la pena comentar, que básicamente acota la autocorrelación de una función de ese tipo, y lo que llama el truco de van der Corput que es básicamente ver que, en promedio, las "buenas" funciones definidas sobre la circunferencia (de hecho sobre el toro), se repartiran bastante equitativamente. Con estos dos ingredientes ven que los únicos problemas que pueden encontrar para demostrar la conjetura de la discrepancia son funciones multiplicativas que "parecen" como si fueran una función con 0s pero sustituidos. Ya sé que suena raro, pero lo que llama Dirichlet characters son unas funciones que valen 1,0,-1 con unas normas muy concretas y la idea es que las funciones que pueden presentar problemas son aquellas que son "como un caracter de Dirichlet" pero con 1s o -1s en lugar de los ceros.
Una vez han localizado esos casos especiales, los analizan por separado y ven que pueden establecer una cota logaritmica al crecimiento de la discrepancia con un argumento con vectores y representación de los números en base n.
Nótese que la conjetura sería falsa si dijera que el supremo sobre n del sumatorio desde 1 hasta n de |f(id)| es infinito, de hecho muestra un contraejemplo a eso. No obstante eso no es lo mismo que decir que para cualquier C puedas encontrar una k y una d tales que bla bla bla. Orden de los cuantificadores gente.
TL;DR:
Claves de la demostración: Demostrar la relación con un problema más general (y por tanto con más herramientas disponibles, esta es una técnica que va muy bien y Grothendiek fue famoso por usarla con mucha soltura). Solucionar el problema más general en los casos donde todo va bien. Solucionar los casos que no todo va tan bien.
