Dado que estoy cambiando de tema de investigación quería hacer este hilo prometido antes de que se me olvide todo. Tened en cuenta que es un hilo de matemáticas, así que la interpretación física se la dejaré a los físicos. El hilo está en construcción. En spoiler esta la definicion tecnica, para quien ya sabe un poco de que van las cosas. Si hay dudas pregunten e intentare aclararlas. No me considero capaz de reescribir un libro para quien quiere aprender de 0 asi que si buscais rigor y a la vez pedagogia mejor preguntadme, no pretendo que en la explicacion haya ambos a la vez.
Part 1: Relatividad General Matemática 101
Sudo de la relatividad especial por varios motivos. Primero, porque a nivel matemático no es necesaria para hacer la relatividad general (a nivel físico sí lo es para entender los problemas que hay). Segundo, porque no la entiendo xD.
La relatividad general matemática trata de resolver las ecuaciones de Einstein. Nada de preguntarnos cómo funciona el universo, ni qué había antes, ni si el Big-Bang esto o lo otro... (estoy medio de broma, realmente esa es la motivación inicial pero como matemáticos vamos un poco más allá y al final lo estudiamos de manera independiente de su interpretación.)
Para empezar, suponemos que el universo es una variedad diferenciable 4-dimensional (\left( M, g\right) ) con una métrica lorentziana. Vamos a ver qué significa esto. Una variedad diferenciable de (n) dimensiones no es más que una estructura que podemos "mapear" con (n) coordenadas. Así en el caso del universo, necesitamos 4 coordinadas que son (t,x,y,z). A veces las coordenadas no permiten describir todo el universo sin problemas, y necesitamos "parches" que se solapen correctamente. Por ejemplo en la Tierra, si damos coordenadas latitud/longitud tenemos suficiente para describir la variedad 2-dimensional que es nuestro planeta. Pero en los polos no tenemos bien definida la latitud asi que ahi realmente tenemos que decir "esto es el polo Norte", "esto es el polo Sur". La idea es parecida en el universo, con la diferencia de que la Tierra esta dentro del universo y por tanto la podemos "imaginar" como dentro de algo, mientras que el universo no esta dentro de nada y solo podemos "mapearlo" sin verlo dentro de nada.
Espacio Tangente
El siguiente paso es definir vectores y derivacion en el universo. La idea es simple, definimos el vector en un punto como "la imagen" del vector en las coordenadas, y el vector no es nada mas que algo que se aplica a la funcion para derivarla. Es decir, si tenemos una función (por ejemplo la temperatura en el universo) y queremos ver cómo varía con el tiempo en un punto dado, eso no es más que aplicar el vector correspondiente a incrementar la coordenada (t) a la funcion y ver el resultado. Si esto no se entiende no os preocupeis, es un poco mas complicado.
Entendiendo este concepto de vector como "cómo varian las funciones si les damos un empujón en esta dirección", parece natural preguntarse lo siguiente: Si tenemos una funcion que en cada punto es un vector (por ejemplo el viento en la Tierra o el gradiente de la temperatura en el universo), ¿cómo varía si le damos un empujón en esta dirección? En este caso las definiciones todavía empeoran más por una simple razón. Para restar o sumar vectores, estos tienen que estar en el mismo espacio. Pero la variedad en cada punto distinto tiene vectores tangentes distintos y no tiene sentido sumarlos o restarlos. Así que tienes que hacer truquillos. El primero de estos es lo que se conoce como la derivada de Lie, que no es mas que ver como cambia un vector en funcion de las curvas definidas por un campo vectorial. El segundo es la derivada covariante, que imlpica una conexion y añadir más estructura a nuestro universo de la que tenemos hasta ahora.
Metrica y derivada covariante
Esta estructura pasa por definir distancias. Para hacerlo tenemos que definir ángulos y longitudes de vectores. Eso es la métrica (g). Asi, la longitud del vector (X) es (\sqrt{-g(X,X)}) (depende del signo que escojamos). En el caso de la relatividad general, la longitud de un vector puede ser 0 o negativa. Recordad que el vector tiene 4 componentes y una de ellas es el tiempo. Por convenio decimos que todos los vectores que sean causales (es decir que no describan una trayectoria que va mas rapida que la luz) tienen longitud negativa. Todos los que describen trayectorias de rayos de luz tienen longitud 0, y los que describen movimientos imposibles tienen distancia positiva. La distancia entre dos puntos alcanzables entre si tiene una definicion muy importante que es el tiempo propio. La idea del tiempo propio es "el tiempo que mediria en mi reloj si siguiera esta trayectoria para ir del evento A al evento B". Eso se puede calcular viendo la direccion y velocidad en la que vas en cada instante (vector), mirando su longitud y sumando (integrando) para toda la trayectoria.
Ahora que podemos medir distancias viene la siguiente pregunta: Cual es la trayectoria que sigue una particula en caida libre, sin fuerzas externas? Esa es la que maximiza el tiempo propio, y define una geodésica. Con esto nos acabamos de cargar la famosa paradoja de los gemelos (si quereis saber por que preguntad). Esto nos permite tambien definir la derivada covariante, que no es mas que el "como varia un vector si le damos un empujon en x direccion?" (fijaos que antes mirabamos como varia un vector a lo largo de la curva definida por un campo vectorial). La definimos de manera que las longitudes de los vectores no cambien al mirar como varian, y añadiendo ciertas propiedades técnicas.
Este concepto de derivada covariante nos permite "transportar" un conjunto de vectores a lo largo de una curva de manera que el angulo que forman entre ellos se mantenga siempre constante.
Curvatura
Ya casi acabamos con la parte mas tecnica. En un espacio curvo como nuestro universo, no es lo mismo ir primero en una direccion x, luego en otra y, que al reves. Asi como en el plano si nos movemos 2 pasos hacia arriba y 1 hacia la derecha (sin girar nuestro cuerpo) es lo mismo que si vamos 1 paso a la derecha y 2 hacia arriba, eso no pasa necesariamente en el universo. La curvatura mide esta diferencia que observamos al seguir distintos caminos.
Por hoy eso es todo, seguire la semana que viene con la energia estres, con la ecuacion de Einstein, la ecuacion de Einstein en el vacio y para acabar los agujeros negros (lo que sabemos y lo que no).
