¡Ey caballeros!
Siendo breve:
Tras cargar contenido dinámico en una página(para navegar por la web sin necesidad de "cargas") mediante AJAX, el navegador me lanza este mensaje:
Me he informado un poco y parece que AJAX está obsoleto para este tipo de uso ya que además del mensaje, todo lo que tiene que cargar va bastante petado. Así que...
¿Qué tipo de tecnología creéis que es mejor para cargar contenido dinámico?
Muchas gracias señores! 
Ajax no está obsoleto.
En el Dev Tools te sugiero que actives el Log de httprequests para que te de mas info del error que estás teniendo.
Puedes usar fetch si quieres algo más moderno, pero sigue siendo "AJAX" que no deja de ser un patrón de pedir algo asíncronamente.
Y tu no estás haciendo AJAX si usas una petición sincrona.
Es que es lo que dice #3, que suena rarísimo que estés haciendo una petición síncrona si estás usando Ajax.
Normalmente harías algo como esto:
// en función async, proporcionándote un "synchronous-feel like":
const resultado = await fetch('https://tu-api.com/recurso');
// sin buscar sincronismo, con promises
fetch('https://tu-api.com/recurso').then( resultado => /* hacer algo con "resultado" */)
En ambos casos, incluso en el primero que parece "síncrono", la operación es asíncrona y usa el event loop de JS para no parar la vista del usuario durante la carga, por eso resulta extraño lo que comentas.
En ningún caso creo que ese warning que te sale sea por AJAX porque AJAX es asíncrono. Y mucho menos porque AJAX esté obsoleto.
Puede que estes cargando algún elemento externo de manera síncrona, por ejemplo, mediante un tag <script> .
Sin más info, no sé que decirte.
El objeto XMLHttpRequest permite hacer peticiones AJAX síncronas, pero no es recomendable como dice eXtreM3. https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/API/XMLHttpRequest/Synchronous_and_Asynchronous_Requests
