¿Algún físico por el foro que me pueda echar una mano con esta pregunta? Es de un examen que acabo de hacer:
Un sistema de tres partículas de espín 1 (unidades ħ) se halla en un estado de espín total con S2 = 12, Sz = 0
Si se mide la tercera componente de cada una de las partículas en ese estado, ¿cual es la probabilidad a priori de obtener que todas ellas sean distintas?
ACLARACIÓN:
S2 = Operador de espín al cuadrado
Sz = Operador de la componente "z" del espín
#1 Pregunta a mth http://www.mediavida.com/id/mTh xD Si no te lo resuelve el, nadie de este foro podrá xD
Hace como 5 años que no sumo spins xD. Pero por intentarlo que no quede.
Lo que quiere es que te saques el estado con autovalor de S2 = 12 y Sz = 0 de la combinación de los 3... cuando tengas el autoestado normalizado pues de la combinación que te salga la probabilidad de que sean distintos es el factor que tengas delante de esos en particular al cuadrado, ejemplo:
Imaginate que el autoestado ese es : 1/sqrt(2)(|1,0,0> - |1,0,-1> ), la probabilidad sería 1/2 ya que solo el segundo tiene los tres Sz's distintos.
El problema es sacarlo claro xD. Para sacarlo "bien" pues necesitas los Clebsch Gordan de marras o calcularte el S-.
La suma se hace en dos partes, primero hazte el sistema con 2 partículas (cuya combinación puede tener spin 2, 1 o 0) y a las opciones le añades otro de spin 1.
Mirando los clebsch gordan se puede sacar sin calculártelo todo, pero es un buen ejercicio sacárselos para saber hacerlo, y mejor aún sacárselo con el S_.... te recomiendo que te lo hagas 
. Tener soltura con esas cosas te quita muchos quebraderos de cabeza luego.
Como te dice que S2 = 12 eso quiere decir que s=3 (3(3+1)) .... y Sz es 0.
Mirando los coeficientes para J1=2 y J2=1, con J=3 y M=0 tenemos que el 3,0 es = sqrt(1/5) |1,-1> + sqrt(3/5)|0,0> + sqrt(1/5)|-1,1> (los kets son |m1,m2> donde m1 es la combinación de los dos primeros)
Ahora si te vas a los clebsch gordan de J1=1 y J2=1 puedes sacarte como son las 3 combinaciones (la de 1, la de 0 y la de -1, las tres con J=2 ) y multiplicando te quedaría algo así como:
sqrt(1/5)(sqrt(1/2)|1,0,-1>+sqrt(1/2)|0,1,-1> )
+sqrt(3/5)(sqrt(1/6)|1,-1,0>+sqrt(2/3)|0,0,0>+sqrt(1/6)|-1,1,0> )
+sqrt(1/5)(sqrt(1/2)|-1,0,1)+sqrt(1/2)|0,-1,1> )
Aquí los kets son |m1,m2,m3>
Y bueno, si no me he rallado multiplicando, me sale que la probabilidad de medir un estado que tenga las tres m's distintas es 3/5.
(1-3/5*2/3 del 000 o sumar todas las otras probabilidades)
Lo más gracioso es que casi sale 0.67 xDDDDDD.
DISCLAIMERS: Las probabilidades de que haya metido la gamba en alguna cosa vital es alta. Son de esas cosas que borras de tu mente enseguida y hace años que no hago un cálculo a mano, mucho menos sumas de spines como esta.
He sacado los coeficientes de http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Clebsch%E2%80%93Gordan_coefficients#j1.3D1.2C_j2.3D1 ... cuidado con los signos que no vienen para m negativas... y no me hago responsable de que esten bien, si tienes una tabla decente a mano repasalo. Las mías estan a 1300 km de distancia en casa de mis padres xD.
Good luck si tienes que calculártelo con los S-... es un coñazo. Partes del máximo (m=3) que es |1,1,1> y con el S_ te vas construyendo el resto. Ni de lejos me acuerdo de como se sacaba el S-.
#13
mTh.
Acabo de seguir tu planteamiento con los coeficientes de clebsch gordan y llego al mismo resultado que tu.
La verdad es que no sabía bien como cogerlo porque solo había hecho problemas de 2 partículas y en un examen rompe que te pongan eso ...
Solo por curiosidad, trabajas en el CERN ?
Muchas gracias por tu ayuda.
Sí, trabajo en el CERN (Estoy haciendo la tesis para una universidad española, pero estoy aquí la mayoría del tiempo).
Me alegro que te haya servido de ayuda .
http://pdg.lbl.gov/2011/reviews/rpp2011-rev-clebsch-gordan-coefs.pdf
Ésta es la tabla que me dieron a mí y la estructura está bastante bien.
