problema matemático

#1 Cuando hay un "o" es una unión (suma). Cuando hay un "y" es una intersección (multiplicación).

Si quieres te lo explico de otra manera:

a) Probablidad de que la pieza x sea defectuosa:

Puede que sea defectuosa porque pertenece a la máquina A, porque pertenece a la máquina B o porque pertenece a la máquina C. Jamás pertenecerá a dos máquinas distintas. En ese caso:

P(x=defectuosa)=P(Pieza fabricada por A sea defectuosa) + (ó) P(Pieza... B... defectuosa) + (ó) P(Pieza...C.defectuosa).

No sabes por quién está fabricada, así que tienes que tener en cuenta los tres.

b) una vez que sabes que es defectuosa, probabilidad de que pertenezca a la máquina B:

Aquí yo utilizaría la regla de Laplace. Se resume a una división:

P(Pieza defectuosa pertenezca a = Casos favorables (P(pieza errónea pertenezca a ) / Casos posibles (P(pieza errónea pertenezca a A) + P(Pieza errónea pertenezca a + P(Pieza errónea pertenezca a C)).

Ten en cuenta que en los casos posibles entran las tres fábricas, mientras que la probabilidad que a ti te interesa es la que sea producida por la de B, cuya probabilidad de error es P(Pieza errónea pertenezca a

C) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa?

Pues aqui´entran las condicionadas. Ten en cuenta que son independientes.

NOTA: Puede haber mil errores, pero yo lo haría así.

Nota: #6 está más ducho que yo en estadística. No sé ni cómo la he aprobado este cuatrimestre xDDDDDDDDDDDDDD

#1 Que carrera estás haciendo? Es solo curiosidad, nada de troleo, solo para saber en que carrera ponen ese examen y si me dices la universidad mejor thx.

P.D: Siento no aportar nada al hilo, pero es que ya está todo bien resuelto :/

#7 está bien explicado pero es muy poco riguroso... "o" es suma si son sucesos disjuntos (es decir que o pasa uno o pasa el otro) e "y" es producto si son sucesos independientes (es decir que P(A y = P(A)P(). Pero bueno, realmente si #1 estudia para magisterio no creo que le importe mucho el rigor. De todos modos lo vuelvo a explicar por si a alguien le interesa.

A #1 le han dado:
P("Al coger un objeto al azar, este ha estado hecho con la máquina A/B/C" ) = P(A),P(,P(C)
P("Al coger un objeto de la máquina "A/B/C" este elemento es defectuoso" ) = P(F|A), P(F|, P(F|C)

a) P(F) ? Como dice #6 es el teorema de probabilidad total, pero vamos a "deducirlo".
El suceso "F" (defectuoso) se da en uno de los tres siguientes casos: cogemos de A y es defectuoso, cogemos de B y es defectuoso, cogemos de C y es defectuoso:
Es decir: F = F^A U F^B U F^C. Estos sucesos son disjuntos (esta es la clave del teorema de probabilidad total, y una de las principales trampas), por lo tanto:
P(F) = P(F^A) + P(F + P(F^C)
Ahora bien el hecho de que sea defectuoso no es independiente de la máquina de donde viene, pero por la definición de P(F|A) = P(F^A)/P(A) tenemos que P(F^A) = P(F|A)*P(A).
Por tanto P(F) = P(F|A)P(A) + P(F|P( + P(F|C)P(C)
El teorema de probabilidad total utiliza que los sucesos son disjuntos y la unión es el suceso total, es la clave.

b) P(B|F) ?
Por definición P(B|F) = P(B^F)/P(F) = P(F|*P(/P(F). Como ya hemos calculado P(F) antes, no hace falta volver a calcular.

c) Compara P(B|F), P(C|F) y P(A|F), calculadas como en b).

Una cosa interesante es: Por qué la fórmula P(A ^ /P( puede entenderse como "Probabilidad de que pase A sabiendo que ha pasado B"? No sé si soy el único que no ve la deducción clara. La idea es que tienes un nuevo espacio de sucesos y allí una nueva función de probabilidad con las mismas propiedades, y relacionas la probabilidad original de sucesos elementales con esta multiplicando por un factor. Pero el por qué multiplicas por un factor no me parece trivial.

#22 el teorema de probabilidad total usa que has hecho una partición del suceso en sucesos disjuntos. Es decir el suceso "voy al cine" es "voy al cine y llueve" o "voy al cine y no llueve". Pero no puede llover y no llover a la vez y por tanto son disjuntos. La trampa es que a veces en alguna situación puede parecer que tienes sucesos disjuntos, aplicas la fórmula y no es correcto porque aunque la unión es el total, la intersección no es nula.

Por ejemplo, tienes el suceso A="hay gazpacho de comer", y sabes que de lunes a jueves ( la probabilidad de que haya gazpacho es 0.4 y de miércoles a domingo (C) la probabilidad es 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de que un día al azar haya gazpacho?

Aquí no podrías aplicar el teorema de la probabilidad total, porque aunque BUC es el total (es decir, no podrías escoger ningún día que no estuviera en B ni en C), B^C no es vacío, y por tanto P(B U C) != P( + P(C). Y ese es el paso clave en el teorema de probabilidad total.

He puesto un ejemplo muy chorra, pero vaya, no sería la primera vez que el profesor explica el teorema sin hacer hincapié en que sean sucesos disjuntos (solo que la unión sea el total) y luego en un examen pone algo así, el alumno aplica el teorema sin fijarse en cómo son los sucesos, y bam.

Sobre lo de explicar es la práctica de que en matemáticas se tiene que argumentar todo paso a paso xD, y realmente si nos centramos en estadística y probabilidad es muy fácil saltarse detalles que son muy importantes, de hecho me aventuraría a decir que muy pocos profesores (incluso de la carrera de matemáticas o estadística) saben bien bien lo que hay detrás de la teoría de probabilidad o estadística.

#24 con esperanzas? Me parece que te has hecho un lío. Recordemos que la esperanza de una variable aleatoria X es la suma de las probabilidades P(X=x)*x para todos los valores posibles de x. Tú lo que haces en #16 en lo que denotas E(A) es calcular P("máquina A" y "Defectuosa"). Porque E(A) no tiene mucho sentido, no puedes hacer la esperanza de un suceso ya que el suceso no toma valores. En todo caso puedes decir X es la variable aleatoria que vale 1 si es la máquina A y 0 si no es la máquina A, entonces sí que E(X) = P(A).

No entiendo tampoco a qué te refieres con probabilidades ponderadas, nunca he usado esa notación, si lo aclaras a lo mejor te entiendo mejor.
Y para acabar lo de la regla de 3 no lo veo claro. Por qué es una regla de 3? (Bueno, yo sí lo entiendo pero no me parece evidente como para dejarlo ahí y ya está).

Lo dicho, en principio lo de la esperanza no tiene mucho sentido pero a lo mejor es que tú le llamas esperanza a otra cosa distinta...

#26 es que eso es la probabilidad de producto defectuoso. La esperanza es la media ponderada de los valores, no de las probabilidades (es un detalle importante).

Es decir, si tú tienes esas fábricas que dices, lo que sería una esperanza es "el número esperado de productos defectuosos por cada 100 productos fabricados". Eso sí es una esperanza, por eso decía que te lías, aunque ya veo lo que querías decir.

Entiendo tu razonamiento y el resultado es el mismo e intuitivamente es correcto (a mí no me parece más fácil personalmente pero eso va a gustos xD), solo que no es notación estándar y creo que a #1 le puede liar más que otra cosa. Ahora si le va bien a él todas las perspectivas son interesantes de ver, no pretendía criticar tu método ni mucho menos, pero en la carrera de mates no le aceptarían que le llamara esperanza a eso .