Hay muchas variantes del G62 y varía mucho el hardware de uno a otro, pero diría que el modelo debe tener un par de años fácil.
Si le han dado mucha caña podría ser posible, salvo por el tema de que conectándolo sin la batería si enciende bien, que le esté cascando el inversor de pantalla, lo cual es una pieza que de tanto abrir y cerrar la pantalla (va por detrás del marco y al abrir y cerrar va "doblando y desdoblando" el cable que lo forma) se acaba desgastando y rompiendo, lo cual es la pieza encargada de proporcionar brillo al panel y de envía la señal de vídeo de la VGA a éste.
Aun así como te digo, si ves los checks previos al arranque de Windows y como comentas sí te funciona sin la batería, dudo que sea eso, e igual es algún fallo en la batería que provoca que no termine de iniciarse bien Windows.
Prueba antes de nada a conectar el portátil a alguna pantalla externa para ver si desde ahí va bien, y descartar algún fallo de la pantalla propia del portátil y el inversor. Si también pasa en este caso (inicia con la pantalla del portátil cerrada y conectado a un monitor externo, tanto con batería puesta como conectado directamente a la red) inicia en modo de prueba de fallos (manteniendo F8 durante el arranque) e iniciando con los controladores mínimos, y si te sigue pasando antes de terminar de pensar en algún fallo de hardware te diría que hicieses lo típico, formatear, para descartar que Windows te haya cascado aunque sea un coñazo.