Una opción que creo que no se ha dado es el de la metáfora, creo que Tolkien juega mucho con esto, por ejemplo cuando lo del ojo de Sauron, que no deja de ser la sensación de su voluntad.
A mi me da la impresión de que Tolkien quiere transmitir que el poder, el fin al que sirve al anillo es tan maligno y tan poderoso que sume al que lo utilice sin estar preparado en un mundo de tinieblas/oscuridad, algo así como estar rodeado, literalmente, por el mal. Y si no eres capaz de superar la prueba, te corrompes y te quedas aislado en el mal, sin voluntad propia, como los nazgul. Una metáfora de lo que puede hacer en el ser humano entregarse a ciertas cosas como el poder, avaricia etc y dejarse "comer" por ellos.
En cuanto a por qué hace invisible a unos y a otros no, todo eso depende de la voluntad y de su capacidad de decir "no" al mal y al poder que porta el anillo.
Si no me equivoco, todos los que se vuelven invisibles, son seres mortales, que sucumben fácilmente ante esos sentimientos (ser importante, poderoso etc) en cambio cuando Tom bombadil se lo pone, le da exactamente igual, es un ser puro que no ambiciona poseer poder o dominar, ni siquiera se lo plantea y por eso no tiene ningún efecto en el. Hasta los maiar y los Valar se pueden corromper por el mal, como vemos en Morgoth, Sauron, los balrog, saruman etc Gandalf sabe eso y no quiere tentarse, porque no sabe si va a ser lo suficientemente fuerte como para negarse a ello, como si que hace Tom bombadil.
Para mí la explicación es esa, una metáfora de Tolkien sobre la realidad plasmada con x efectos "mágicos" (como hacerse invisible) en su historia. Básicamente no es un tema de poder, si no de la relación que tengas con ese tipo de sentimientos malos como ser.
Hay que recordar que Tolkien era bastante creyente además, por lo que gran parte de lo que quiere dar a entender con su historia va por ese camino de cuidar tu alma de ese tipo de sentimientos malos etc