Esto me recuerda también a una pregunta que siempre aparece cuando estudias por primera vez estos temas.
1inf = 1
(algo que tiende a 1) ^ (algo que tiende a inf) = e
Me salgo un poco del tema pero lo he leído en menéame y me he acordado de este foro, ¿cuantos en mediavida suspenderían este examen de 6º EGB?
1-Escribe el número racional que no tiene inverso.
2-Un niño, A, ha saltado una distancia de 1,20 metros; otro niño, B, saltó 0,35 metros más que el anterior, y otro, C, 0,60 más que el segundo. ¿Qué distancia saltaron B y C?
3-¿Cuál es el menor número que dividido por 8, 12 y 15 da siempre de resto 7?
4-Expresa en centímetros 0,30 metros.
5-Con el vino de una botella de 3/4 de litro se han llenado 5 vasos. ¿Cuál es en litros la capacidad de cada vaso?
6-Un carro tiene una rueda de 1m de diámetro. ¿Que distancia habrá recorrido el carro cuando la rueda haya dado 100 vueltas?
7-El área de un romboide de base 24 cm. es 236 cm2. ¿Cuál es su altura?
8-¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de diez lados?
9-Si dos rectas en el espacio son perpendiculares a una tercera, ¿han de ser necesariamente paralelas?
10-¿Cuántas veces es mayor la longitud 52 m. que 52 dm?
#62 Pobres niños. Yo mismo a lo mejor suspendo y estudio Ingeniería Informática, lo que dice mucho de mi, del sistema educativo y de mis nociones sobre los romboides por ejemplo.
Soluciones ejercicios semana anterior
Voy a comentar a la gente que respondió:
#25 está bien, pero das demasiadas cosas por supuestas. Si estamos haciendo fundamentos es para ser rigurosos. Por qué la suma de dos impares es par? Por qué par + impar es impar ? Es muy fácil demostrar (un par se escribe 2k y un impar 2k+1). Sobre la inecuación correcto.
#31 ya he comentado suficiente en otras respuestas xD.
#57 está bien, no me gusta que definas par como "se puede dividir por 2" porque siendo estrictos tendrías que decir que la división entera por 2 tiene residuo 0. Prefiero que digas que un entero es par si se puede expresar como 2k, e impar si 2k+1. Es lo mismo pero como estamos hablando de enteros queda "feo" meter fracciones.
Por el mismo motivo no me apasiona la demostración del sumatorio, aunque es parecida a la que hizo Gauss:
1+...+n = S
n+...+1 = S
(n+1)+...+(n+1)=2S
n·(n+1)=2S
S=n·(n+1)/2
Así no hay que meter fracciones al sumar ni dividir los casos 
, es lo mismo que has hecho, claro, pero más "elegante" (odiosa palabra en las matemáticas xD).
Ahora voy a resolver yo los otros:
Las definiciones:
Me faltaba decir que también sabemos lo que significa pertenecer (es decir, que "un punto pertenece a una recta" o una recta a un plano), sin eso imposible (creo) hacer las definiciones.
Triángulo: Dados 3 puntos no alineados (es decir que no exista una recta que los contenga a los tres), A B C, trazamos segmentos AB,BC,CA. La unión de los segmentos y los puntos es un triángulo.
Costado de un triángulo: Uno de los segmentos de la definición anterior
Recta paralela a otra recta: Dada una recta en el plano, decimos que otra recta es paralela a esta si no tienen ningún punto en común. Dada una recta en el espacio, decimos que otra recta es paralela a esta si son coplanares (existe un plano que las contiene a las dos) y no tienen ningún punto en común.
El del buscaminas también es fácil: empezamos por la mitad de la izquierda: El 2 tiene 2 minas debajo, pero 2 de las 3 casillas vacías adyacentes están en contacto con el 1. Entonces una de las minas tiene que estar en la otra casilla. Análogamente para la otra parte.
Inducción:
Nadie me ha demostrado esto por inducción 
1+...+n=n(n+1)/2
Veamos que es cierto para n=1 : 1 = 1(1+1)/2 OK
Supongamos 1+...+n=n(n+1)/2
Veamos que también vale para n+1:
1+...+n+(n+1) = (n+1)((n+1)+1)/2 ????
Pero:
1+...+n+(n+1) = 1+...+n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n(n+1)+2(n+1))/2 = (n+1)(n+2)/2 = (n+1)((n+1)+1)/2 OK
Por tanto P(1) es cierto y P(n) implica P(n+1) (hemos aplicado la hipótesis de inducción al sustituir 1+...+n por n(n+1)/2 que era nuestra suposición), ergo toda n cumple esa propiedad.
La inecuación:
2n2-2n+1>0 para todo n?
si n=1:
2-2+1 = 1 > 0 OK
si 2n2-2n+1 > 0 , es cierto que 2(n+1)2-2(n+1)+1 > 0 ??
2(n+1)2 - 2(n+1)+1 = 2n2 + 4n +2 - 2n -2 +1 =2n2 - 2n +1 + 4n > 0 (ya que n>0)
El problema:
Todos lo habéis puesto bien pero bueno, lo repito aquí por si alguien busca:
m+m2 = m(m+1). si m es par, m(m+1) también, y si m es impar, m+1 es par y por tanto m(m+1) es par.
n+n2+n3 = par .
Supongamos n impar : n = 2k+1 para cierto k>=0
n+n2+n3=2k+1 + 4k2 + 4k + 1 + 8k3 + 6k2 + 6k + 1 = 2(1+6k+5k2+4k3) + 1 número impar. Por tanto si n impar no puede ser n + n2 +n3 par. Por tanto tiene que ser forzosamente par.
Tema 2: Teoría de conjuntos y lógica básica
Otro tema cortito. Pero posiblemente lo deje a medio hacer porque tengo que marchar pronto xD.
Conjuntos
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
No entraremos en la filosofía de las matemáticas ni en paradojas ni en la axiomática completa de ZFC. Explicaremos los axiomas de ZF pero sin ir al detalle de por qué esos y no otros.
Una definición de lo que es un conjunto sin aceptar nuestros conocimientos naturales de lo que es una colección, es decir sin usar nuestra intuición, es muy complicada. De hecho hasta donde yo sé los conjuntos se definen por sus propiedades, funciones y relaciones, y los elementos son simplemente objetos (otros conjuntos también pueden ser objetos).
Se establece una relación llamada diádica (es decir, entre dos elementos): 
. Esto significa "pertenece". Es decir: aX significa que el elemento a pertenece al conjunto X. Notar que X puede ser usado también como elemento y a como conjunto.
Tendremos como elementos "indefinibles", es decir, que responderán a nuestra definición en lenguaje natural el elemento (conjunto) y la relación (pertenencia) y los vamos a describir con las propiedades de los mismos.
Los axiomas los podéis ver en la entrada de la wikipedia (recomiendo la versión inglesa). Si queréis leedlo y comentadme vuestras dudas. Básicamente, hay los axiomas de "existencia" de conjuntos, y los de creación de conjuntos a partir de otros conjuntos. Después hay reglas para crear más conjuntos y una definición de lo que es una función. Cuidadín, hay infinitos axiomas en lenguaje de 1er orden, pero eso ya lo explicaré después.
Lo que a nosotros nos interesa de momento es: Qué podemos hacer con los conjuntos, qué propiedades tienen y cómo podemos crear los conjuntos.
-
Por un lado tenemos el conjunto vacío:
que es un conjunto que no tiene elementos. Es el conjunto más básico. -
Dados dos conjuntos A y B, decimos que A está contenido en B ( A c B ) si todo elemento de A también pertenece a B. Esta relación de orden no es total, dos conjuntos pueden estar contenidos uno dentro del otro o no.
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Dados dos conjuntos A y B, podemos tener C = A U B (la unión de estos dos conjuntos), que tiene todos los elementos de A y todos los elementos de B, D = A
B (intersección de A y 
, que contiene los elementos que están a la vez en A y en B, o E = A x B que contiene pares de elementos (a,b) donde a está en A y b en B. -
La unión, intersección y producto cartesiano se pueden extender a colecciones arbitrarias de conjuntos (vamos, unión de infinitos conjuntos y etc).
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Dado A y B, sea D un subconjunto de A x B tal que para todo elemento a en A exista un único elemento b en B tal que (a,b) pertenezca a D. D define implícitamente una función de A en B f:A--->B donde f(a) = b si y solo si (a,b) pertenece a D. Dado un subconjunto C de B definimos f-1(C) = {a en A tal que f(a) está en C} la antiimagen de C.
-
Dada f:A ---> B una función, dado C c A un subconjunto de A y dado D c B un subconjunto de B, tenemos que : f(C) c f(A) (la imagen de C por f está contenida en la imagen de A por f), f-1(C) c f-1(
. -
Dado A conjunto y C c A subconjunto, decimos A\C para referirnos al complementario de C en A, es decir todo lo que está en A y no está en C. A\C = {a en A tal que a no está en C}.
Relación de equivalencia y conjuntos cocientes
Tema muy importante especialmente en grupos, espacios vectoriales, etc.
Definamos primero lo que es una relación de equivalencia.
Relación de equivalencia es una relación binaria: Entre dos elementos. Decimos que a está relacionado con b y escribimos a ~ b. Podríamos decir que una relación binaria entre elementos de un conjunto A define un subconjunto de A x A, así todos los pares (a1,a2) de este subconjunto serían aquellos que cumplen a1 ~ a2. Otros ejemplos de relaciones binarias son "contenido en" o "menor que".
La relación de equivalencia cumple además tres propiedades
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Reflexividad: aa, es decir, todo elemento está relacionado con sí mismo.
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Simetría: ab <=> ba, es decir, a está relacionado con b si y solo si b está relacionado con a. Fijaos que "menor que" no cumple este requisito: 1 < 2 pero no 2 < 1.
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Transitividad: a ~ b y b ~ c => a ~ c, es decir, si a está relacionado con b y b con c, entonces a está relacionado con c.
Hay una partícula del lenguaje formal que a veces se considera relación y a veces (la mayoría) como una entidad propia, que es la igualdad. La igualdad si os fijáis cumple estas propiedades. En realidad una relación de equivalencia es como una igualdad "relajada" (luego profundizaremos en esto). Un ejemplo de relación de equivalencia en lenguaje natural es "tener el mismo color de pelo que ... ". Como podéis ver esto permite dividir la sociedad según el color de pelo y además de manera unívoca (vamos, que no vas a meter a una persona en dos colores a la vez).
En general esto es lo que pasa con las relaciones de equivalencia. Dado un conjunto A y una relación de equivalencia , esta relación induce subconjuntos disjuntos de A que forman una partición.
Estos conjuntos los escribimos así:
Dado un a en A: [a] = {x en A tal que x ~ a} -> Clase de equivalencia de a.
Decimos que a es un representante de la clase de [a], y de hecho podemos coger cualquier representante: [a] = [x] para todo x ~ a. Por eso una relación de equivalencia es como una igualdad "a grosso modo". Es como coger y hacer un zoom out del conjunto. Con el ejemplo del color del pelo, en lugar de mirar persona a persona, miraremos las propiedades de los rubios, de los castaños, etc.
Podemos hacer un conjunto que como elementos tenga las clases de equivalencia, y lo notaremos A/~ . Por ejemplo, si tenemos un conjunto A, una relación de equivalencia ~ y unas clases [a1],[a2],[a3] nuestro conjunto A/~ sería A/~ = {[a1],[a2],[a3]} y tendría solo 3 elementos (que a su vez son conjuntos!!).
De momento no explicaré lo que son las sucesiones de conjuntos, los límites inferior y superior, etc. ya que no será útil hasta que hagamos estadística, análisis real o topología xd.
El viernes si no es fiesta en Alemania explicaré lógica y notación para empezar a dejar de decir "para todo", "existe", etc.
Ejercicios
Sea X un conjunto, A1 , ... , An subconjuntos
Sea Y otro conjunto, B1, ... , Bn subconjuntos
Sea f : X ---> Y función.
Demostrar (o refutar con un contraejemplo) que:
X(A1 U ... U An) = X\A1 ... X\An
X(A1...An) = X\A1 U ... U X\An
f(A1 U A2) = f(A1) U f (A2)
f(A1 A2) = f(A1)f(A2)
f-1 (B1 U B2) = f-1 (B1) U f-1 (B2)
f ( f-1 ( B1 )) = B1
f-1 (f (A1)) = A1Demuestra que la igualdad es una relación de equivalencia.
Demuestra que en los números enteros, x ~ y sii x-y = 2·k define una relación de equivalencia. ¿Cuáles son las clases y cuántas hay?
14 días después
#67 no quería hacer 4 posts seguidos y si no hay interés tampoco es plan de forzarlo xd, queréis que siga?
gogo soluciones, no lo dejes tío xD
Me animo a responder, a ver que tal:
X(A1 U ... U An) = X\A1 intersección X\An
Cierta, ambos son el conjunto vacío sí y sólo sí Ai no es vacío.
Si Ai es vacío, entonces ambos lados de la igualdad son X.
X(A1 intersección An) = X\A1 U ... U X\An
Cierta por la misma razón anterior.
f(A1 U A2) = f(A1) U f (A2)
Cierto, lo veo tan intuitivo que no sé como demostrarlo formalmente.
Me da igual aplicar f (biyectiva?) a todos los elementos de la unión, que aplicarlo por separado xD.
f(A1 intersección A2) = f(A1) intersección f(A2)
Cierto por la misma razón anterior
f-1 (B1 U B2) = f-1 (B1) U f-1 (B2)
Cierto como antes, únicamente si f-1 existe.
f ( f-1 ( B1 )) = B1
Cierto, pero sólo sí f es biyectiva, por lo que existe f-1 y además "deshace" f de manera unívoca.
f-1 (f (A1)) = A1
Cierto por lo mismo anterior.
Por animar un poco el asunto... la primera diría que es falsa. Sea n=2 y A1,A2 subconjuntos vacíos de X. El lado izquierdo de la igualdad es X y el lado derecho es el vacío ¿no?
-Editar- lel, no había leido lo de arriba.. \ es diferencia conjuntista A\B es el conjunto de x en A y no en B.
#73 #74
X(A1 U ... U An) = X\A1 ... X\An
Cierto, pero lo del conjunto vacío que has dicho Seuron es falso (siempre que A1 U ... U An no sean X, eso no será el conjunto vacío). Demostración (es realmente jugar con las palabras):
Sea x en X(A1 U ... U An). Por definición, x no pertenece a A1 U ... U An. Es decir, no pertenece a A1, no pertenece a A2, ..., ni a An. Si no pertenece a A1, pertenece a X\A1, si no pertenece a A2, pertenece a X\A2 ... así hasta X\An. Por tanto pertenece a X\A1, a X\A2, ... y a X\An, a todos a la vez. Es decir, pertenece a la intersección de todos estos y por tanto X(A1 U ... U An) está incluído en la intersección de los complementarios.
Al revés, sea x en la intersección de complementarios, significa que pertenece a todos ellos a la vez. Por tanto no pertenece a ninguno de los subconjuntos Ai, por tanto no pertenece a la unión, por tanto pertenece al complementario de la unión. Así pues, la intersección de complementarios está incluída en X(A1 U ... U An) (ya que toda x de la intersección también está en X(A1 U ... U An).
X(A1 ...An) = X\A1 U ... U X\An
Cierto, se demuestra análogamente al anterior o simplemente tomando complementarios a cada lado de la igualdad (aunque habría que demostrar que X\X\A = A y que si A = B , X\A = X\
.
Estas dos igualdades constituyen las famosas leyes de De Morgan
f(A1 U A2) = f(A1) U f (A2)
Cierto, sea x en f(A1 U A2). Existe y en A1 U A2 tal que x = f(y). y en A1 U A2 implica y en A1 ó en A2. Como x = f(y) tenemos que x en f(A1) ó en f(A2), es decir en su unión. Así pues f(A1 U A2) está incluído en f(A1) U f(A2).
Para la otra inclusión voy a usar el siguiente resultado: Si A está incluído en B, f(A) lo está en f(. Y si A y B están incluídos en C, A U B también.
Demostración del lema:
A está incluído en B, veamos f(A) en f(. Sea x en f(A). entonces existe y en A tal que f(y) = x. Pero y también está en B y por tanto f(y) está en f(. Por tanto x está en f(. OK
Supongamos A y B incluídos en C. Veamos AUB también:
sea x en A U B. x en A o x en B. x en A => x en C, x en B => x en C. Por tanto en cualquier caso x en C y A U B está en C. OK
Demostración de la otra inclusión: A1 incluído en (a partir de ahora incluído en = c) A1 U A2. A2 c A1 U A2. Por el lema tenemos f(A1) c f(A1 U A2) y f(A2) c f(A1 U A2). Por el lema otra vez tenemos f(A1) U f(A2) c f(A1 U A2) tal y como queríamos demostrar.
f(A1 A2) = f(A1)f(A2)
Falso, f(A1 A2) c f(A1)f(A2) pero al revés no.
La inclusión es sencilla: x en f(A1 int A2) implica que existe y en A1 int A2 tal que x = f(y). Pero y en A1 implica f(y) en f(A1) e y en A2 implica f(y) en f(A2), por tanto f(y) en f(A1) int f(A2).
La otra inclusión es falsa, he aquí el contraejemplo:
Supongamos que X = {1,2} e Y = {3}. Supongamos que f(x) = 3 (bueno, es la única función posible) para todo x en X. sea A1 = {1}, A2 = {2}. f(A1) = f(A2) = {3} y por tanto f(A1) int f(A2) = {3}. Pero A1 int A2 = 0 (vacío), así que f(A1 int A2) = f(vacío) = vacío. Es decir f(A1) int f(A2) no está incluído en f(A1 int A2).
f-1 (B1 U B2) = f-1 (B1) U f-1 (B2)
Cierto. Cuidado aquí, f-1 de un subconjunto existe SIEMPRE, es la antiimagen, no tiene por qué ser función biyectiva, lo único que puede ser el conjunto vacío si justo estos subconjuntos no pertenecen a la imagen.
Sea x en f-1 (B1 U B2), si y solo si f(x) en B1 U B2, si y solo si f(x) en B1 o en B2, si y solo si x en f-1(B1) o en f-1(B2), si y solo si x en f-1(B1) U f-1(B2). Los detalles para quien los quiera hacer.
f ( f-1 ( B1 )) = B1
Falso. Cierto siempre que f sea exhaustiva (no biyectiva, mañana pasado explicaré las diferencias).
f(f-1(B1)) c B1 siempre y de manera directa, si y está en f(f-1(B1)) entonces existe x en f-1(B1) tal que f(x) = y. Pero x en f-1(B1) implica f(x) en B1. Es decir y en B1.
Si f es exhaustiva, como todos los elementos de B1 tienen antiimagen (no necesariamente única), tenemos que para todo y en B1, existe x en f-1 (B1) tal que f(x) = y. Es decir, si y en B1, y está en f(f-1(B1)).
Si f no es exhaustiva, por ejemplo X = {1,2,3} , Y = {1,2,3,4} y f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, tendríamos que la antiimagen de B1 = {3,4} es f-1(B1) = {3} pero f(f-1(B1)) = {3}.
f-1 (f (A1)) = A1
Falso. Si la función es inyectiva es cierto.
A1 c f-1(f(A1)) siempre. Si x en A1, f(x) en f(A1) y por tanto x en f-1(f(A1)).
Si f es inyectiva, como cada elemento distinto tiene una imagen distinta y f(A1) es un conjunto cuyos elementos tienen todos antiimagen, nos tiene que dar A1:
Sea x en f-1(f(A1)). Entonces f(x) está en f(A1). Es decir, existe y en A1 tal que f(y) = f(x). Pero como f es inyectiva, esto implica y = x y por tanto x está en A1.
Si f no es inyectiva, por ejemplo: X = {1,2} Y ={3} de nuevo tenemos la función f(x) = 3 para todo x. Entonces si A1 = {1}, f(A1) = {3} y f-1(f(A1))=X={1,2} que son distintos.
La igualdad es relación de equivalencia:
Hay poco que hacer aquí, ya que la igualdad toma las propiedades de nuestro lenguaje natural.
Simétrica: x=y si y solo si y = x OK
Reflexiva: x=x OK
Transitiva: x = y e y = z implica x = z OK
Relación de equivalencia enteros: x ~ y sii existe k tal que x-y = 2k.
Es relación de equivalencia?
Simétrica: xy sii existe k tal que x-y = 2k. Sea m = -k: entonces y-x = 2m y por tanto y ~ x OK
Reflexiva: x-x = 0 = 2·0 implica xx siempre.
Transitiva: Supongamos xy e yz: x-y = 2k, y-z = 2j. entonces x - z = x - y +y - z = 2k+2j = 2(k+j). Sea m = k+j y tenemos x-z = 2m , es decir, x ~ z.
Por tanto sí , es relación de equivalencia.
Veamos las clases: Empezaremos por la del 0. [0] = {x en Z tal que exista m tal que x-0 = 2m} = {números pares}. Ahora la del 1. [1] = {x en Z tal que exista m tal que x-1= 2m} = {x en Z tal que exista m tal que x = 2m + 1} = {números impares}. Como vemos hay solo 2 clases.
Yo si que te leo y me miro todo lo que haces en cuanto lo pones. Por mi claro que está bien que sigas xd
A mi me viene de putísima madre esto que haces.
Cuando se tiene algo de base, muchas veces lo que quieres es que te lo den resumido y bien contado, omitiendo detalles que podrías llegar tú sólo. Algo así como un handbook xD.
#84 Hola, en un futuro me gustaría coger Matemáticas en la universidad (Al principio fue Física, sin embargo, cambié de opinión) y me gusta mucho leer esto, aunque la verdad, tengo que esforzarme para comprenderlo (mi nivel es de 2º de Bachillerato, acabado hace poco) además de que no dedico el tiempo suficiente como lo haría en una clase, pero sinceramente, me viene bastante bien, ya que le tengo un miedo injustificado al temario que podría ver en la carrera (en 2º se me complicaron bastante).
A nivel de bachillerato. Si tienes interés y te parece difícil, no te preocupes. El problma es del profesor, no tuyo.
#86 si tienes alguna duda pregunta, por favor! No tengas miedo al temario, el temario es temario y como todo, se puede aprender. El problema sí pueden ser los profesores, que pongan exámenes que no reflejen lo que has aprendido, etc.
Incluso buenos profesores pueden estar haciendo un examen que ellos creen que es asequible y sin querer colar un problema no resuelto, o algo que requiere una conjetura que no ha sido demostrada, etc.
Por ejemplo a mí en un problema de aritmética me tuvieron que cancelar una pregunta sobre los números de Carmichael porque pedían una cosa que nadie había resuelto (les faltaba añadir un supuesto).
Alquien que sepa demostrarme que el factorial de 0 es 1
0!=1
yo ya lo se jejeje es para calificaros como buen profesor que soy
#86 Cuando llegues a la universidad te van a violar, pero le pasa a la mayoría, yo estudio física, y cálculo y álgebra el primer año se me hicieron complicadísimas, y ecuaciones diferenciales y variable compleja de 2º aun no las tengo aprobadas xD
El problema es que en bachillerato, por lo menos yo y la gente que conozco, no te enseñan matemáticas como deberían enseñarse, con demostraciones y cosas de esas, te enseñan a resolver como si fuese lo mas importante, y luego pasa lo que pasa.
